Das Sekantenverfahren
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Das Sekantenverfahren gehört zur Kategorie numerischer Verfahren, das die Lösung der Gleichung f(x) = 0 näherungsweise durch Iteration schätzt.
Da das Sekantenverfahren nicht die mathematische Ableitung der Funktion f berechnen muss, kann es für eine größere Bandbreite an Problemen eingesetzt werden als das bekannte Newton-Verfahren.
Grundidee
Das Verfahren nähert sich der Nullstelle durch lineare Interpolation an: Man nutzt zwei Startwerte und legt eine Gerade (Sekante) durch die entsprechenden Funktionspunkte auf dem Graphen.
Der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse dient als erste Schätzung für die gesuchte Nullstelle. Dieser neue Wert ersetzt zusammen mit dem letzten Rechenwert die vorherigen Punkte, woraufhin eine neue Sekante berechnet wird.
Dieser Prozess wird wiederholt bis ein Abbruchkriterium erreicht ist. Denkbar sind Toleranzen für x-Wert oder für Funktionswerte f(x) oder eine maximale Anzahl an Iterationen.
Die mathematische Iterations-Vorschrift:
Interaktives Sekantenverfahren
Funktion: f(x) = 0.25x² - 1 mit Nullstelle bei x = 2
Anwendung im Abgabenmonitor:
Wir betrachten als Beispiel den Ziel-Netto-Rechner:
Die Berechnung des Netto abhängig vom Brutto ist eine simple Anwendung der Steuer-Engine. Wollen wir den Weg umgekehrt gehen und suchen das passende Brutto zu einem Netto, dann ist das mathematisch gesehen eine Nullstellen-Suche.
Wir betrachten eine Funktion f(x) = y wobei x hier ein Brutto ist und y das dazugehörige Netto und können das mit einer Hilfsfunktion g in das folgende Nullstellen-Problem umformulieren:
wobei z unser Ziel-Netto ist und f die Netto-Berechnungsfunktion der Steuer-Engine.
Fehlende Ableitungsformel
Das Newton-Verfahren benötigt die erste Ableitung, die man bei der komplexen Steuerberechnung, den Sozialabgaben und der Günstigerprüfung mathematisch nicht einfach berechnen kann. Deswegen ist das Sekantenverfahren ideal für diesen Anwendungsfall.
Man kann das ganze gut an der Grenzabgabenlast-Statistik sehen mit ihren Sprüngen: Abgabenlast-Statistik
Für die Mathenmatiker: Das Newton-Verfahren braucht eine stetig differenzierbare Funktion f. Durch die verschiedenen Progressionstufen in unserem Steuerrecht kann f nicht stetig differenzierbar sein.
Schnelligkeit (Konvergenz)
Um das Ziel-Netto zu suchen könnte man auch mit dem Prinzip der Intervallschachtelung vorgehen: Man sucht sich ein Intervall in dem man einmal über und einmal unter dem Ziel-Netto ist. Nun teilt man das Intervall in zwei Hälften und macht mit der Hälfte weiter, in dem das Ziel-Netto enthalten ist.
Das Problem dabei ist, dass dieses Verfahren langsam ist. Das Sekantenverfahren konvergiert schneller- das bedeutet dass man mit weniger Iterationen zum Ergebnis kommt.
Stabilität bei monotonen Funktionen
Die Nettofunktion ist monoton steigend, falls man Ersatzleistunge wie Wohngeld etc. rausdefiniert, mehr Brutto führt also immer zu mehr Netto. In solchen Fällen ist das Sekantenverfahren extrem stabil, weswegen der Netto-Ziel-Rechner immer in wenigen Schritten das richtige Brutto für dein Ziel-Netto berechnen kann und nicht in Endlosschleifen endet.